Đề bài
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK).
b) Tính diện tích thiết diện được xác định bởi câu a.
Lời giải chi tiết
a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
b) Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ. Từ đó ta có:
AN=23AC;AM=23AB
Suy ra: AN=AM=23a và MN//CB. Do đó MN=23CB
hay MN=23a.
Xét tam giác AIM. Ta có:
IM2=AI2+AM2−2AI.AM.cos60o=a24+49a2−2.a2.2a3.12=1336a2⇒IM=a√136
Tương tự, ta có IN=a√136
Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:
SIMN=√(a√136+26a).26a.26a.(a√136−26a)
=a26.
