Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng (d1) và (d2) tương ứng với đồ thị của các hàm số y=2x−1 và y=x.
Xây dựng dãy các điểm (An) nằm trên (d1) và dãy các điểm (Bn) nằm trên (d2) theo cách sau (h.3.3):
∙ A1 và B1 tương ứng là giao điểm của đường thẳng x=32 với (d1) và (d2);
∙Với mỗi số nguyên n≥2,Bn là giao điểm (d2) với đường thẳng đi qua An−1 và song song với trục hoành, An là giao điểm của điểm (d1) với đường đi qua Bn và song song với trục tung.
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là hoành độ của An và hn là độ dài của đoạn thẳng AnBn.
LG a
Chứng minh rằng dãy số (hn) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết:
Với mỗi n≥1, kí hiệu an và bn tương ứng với tung độ của điểm An và điểm Bn. Khi đó :
- Do An nằm trên (d1) nên an=2un−1.
- Do Bn là giao điểm của (d2) và đường thẳng đi qua An, song song với trục tung bn=un. Suy ra với mọi n≥1.
hn=an−bn=(2un−1)−un=un−1(1)
Hơn nữa, với mỗi n≥1, do Bn+1 nằm trên đường thẳng đi qua An và song song với trục hoành nên bn+1=an=2un−1. Suy ra un+1=2un−1 với mỗi n≥1.
Từ đó ta được un+1−1=2(un−1) với mọi n≥1, hay hn+1=2hn với mọi n≥1(theo(1)). Vì thế, (hn) là một cấp số nhân với số hạng đầu
h1=u1−1=32−1=12 và công bội q=2
LG b
Dựa vào kết quả phần a), hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải chi tiết:
Ta có hn=h1.qn−1=12×2n−1=2n−2 với mọi n≥1. Suy ra
un=hn+1=2n−2+1 với mọi n≥1.
