Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho →MB=k→MC và →NA=k→ND với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α là góc giữa hai vectơ →MN và →BA ; β là góc giữa hai vectơ →MN và →CD. Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α=β=450.
Lời giải chi tiết
Kẻ MP // AB thì dễ thấy NP // CD. Từ đó, góc giữa →MN và →BA bằng góc giữa →MN và →MP, đó là góc ^PMN. Góc giữa →MN và →CD bằng góc giữa →MN và →PN, đó là góc ^PNM.
Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:
MP = NP và ^MPN=900
Từ đó, suy ra CPCA.AB=APAC.CD và AB⊥CD
hay ABCD=APCP và AB⊥CD
Mặt khác, ta có →PA=k→PC⇒APPC=|k| .
Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ
ABCD=|k| và AB⊥CD
thì góc giữa hai vectơ →MN và →BA bằng góc giữa hai vectơ →MN và →CD, cùng bằng 45°).
