Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α. Tính:
a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD;
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);
c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AB thì SH⊥AB, từ đó SH⊥(ABCD). Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH, đó là chiều cao của hình chóp.
Ta có SH=HCtanα,
mặt khác HC2=BH2+BC2=5a24.
hay HC=a√52.
Vậy SH=a√52tanα.
b) Gọi K là trung điểm của CD thì CD⊥(SHK), từ đó (SCD)⊥(SHK). Vậy nếu kẻ đường cao HI của tam giác SHK thì HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD). Ta có:
HI=HS.HKSK=a√52tanα.a√5a24tan2α+a2=a√5tanα√5tan2α+4
c) Vì SH và CD cùng vuông góc với BC nên SH, CD song song với mặt phẳng trung trực (R) của BC. Khi đó:
(R)∩(ABCD)=MN với MN // CD và M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
(R)∩(SHK)=EF, EF // SH, E là trung điểm của MN.
(R)∩(SCD)=PQ, PQ đi qua điểm F và PQ // CD. Thiết diện MNPQ là hình thang cân.
Ta có
SMNPQ=12(MN+PQ).EF=12(a+a2).a√54tanα=3a2√516tanα.
