Đề bài
Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2...A2n nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm A1...A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm A1A2...A2n. Tìm n.
Lời giải chi tiết
Có C32n tam giác.
Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi việc chọn 2 trong số n đỉnh ở nửa đường tròn.
Vậy có C2n hình chữ nhật.
Ta có phương trình 20C2n=C32n
⇔20.n!2!(n−2)!=(2n)!3!(2n−3)!⇔10n(n−1)=2n(2n−1)(2n−2)6⇔5(n−1)=(2n−1)(2n−2)6⇔30n−30=4n2−6n+2⇔4n2−36n+32=0⇔[n=8(TM)n=1(loai)
⇒n=8.
