Đề bài
Cho đa giác đều có 2n cạnh \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm \({A_1}...{A_{2n}}\) nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\). Tìm n.
Lời giải chi tiết
Có \(C_{2n}^3\) tam giác.
Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi việc chọn 2 trong số n đỉnh ở nửa đường tròn.
Vậy có \(C_n^2\) hình chữ nhật.
Ta có phương trình \(20C_n^2 = C_{2n}^3\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 20.\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}}\\
\Leftrightarrow 10n\left( {n - 1} \right) = \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6}\\
\Leftrightarrow 5\left( {n - 1} \right) = \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6}\\
\Leftrightarrow 30n - 30 = 4{n^2} - 6n + 2\\
\Leftrightarrow 4{n^2} - 36n + 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 8\left( {TM} \right)\\
n = 1\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Rightarrow n=8\).
