Tìm các giới hạn sau
LG a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt {x + 3} - 2} \over {x - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\({1 \over 4};\)
LG b
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} {{2 - \sqrt {x - 3} } \over {{x^2} - 49}}\)
Lời giải chi tiết:
\( - {1 \over {56}};\)
LG c
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\sqrt {{x^2} - 2x + 6} - \sqrt {{x^2} + 2x - 6} } \over {{x^2} - 4x + 3}}\)
Phương pháp giải:
Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6} + \sqrt {{x^2} + 2x - 6} \) và đơn giản phân thức nhận được, ta có
\({{\sqrt {{x^2} - 2x + 6} - \sqrt {{x^2} + 2x - 6} } \over {{x^2} - 4x + 3}} = {4 \over {1 - x}}.{1 \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 6} + \sqrt {{x^2} + 2x - 6} }}\) với \(x \ne 3.\)
Lời giải chi tiết:
\( - {1 \over 3}.\)
LG d
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
\({{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \right)} \over {9 - 6x + {x^2}}} = {{3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \over {x - 3}}.\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {3 + \sqrt {6x - {x^2}} } \right) = 6 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0\) và \(x - 3 < 0\) với mọi \(x < 3\) nên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{x - 3} \over {3 - \sqrt {6x - {x^2}} }} = - \infty .\)
LG e
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 2} - 2} \over {\sqrt {x + 7} - 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right),\) ta được
\({{\sqrt {x + 2} - 2} \over {\sqrt {x + 7} - 3}} = {{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = {{\sqrt {x + 7} + 3} \over {\sqrt {x + 2} + 2}}\) với \(x \ne 2.\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 2} - 2} \over {\sqrt {x + 7} - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {x + 7} + 3} \over {\sqrt {x + 2} + 2}} = {3 \over 2};\)
LG f
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} + x + 1} - x\sqrt 3 } \right).\)
Lời giải chi tiết:
\({{\sqrt 3 } \over 6}.\)
