Cho hàm số
f(x)={x2khix≥0−x3+bx+ckhix>0
LG a
Tìm điều kiện của b và c để f(x) liên tục tại x0=0
Lời giải chi tiết:
Hàm số liên tục tại điểm x=0 nếu lim hay
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)
ta có
\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^3} + bx + c} \right) = c \cr& f\left( 0 \right) = {0^2} = 0 \cr}
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0 nếu c = 0 còn b tùy ý.
LG b
Xác định b và c để f\left( x \right) có đạo hàm tại {x_0} = 0 và tính f'\left( 0 \right)
Lời giải chi tiết:
Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra c = 0) và có giới hạn hữu hạn
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
Ta có
\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr}
Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}
Suy ra b = 0
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi và chỉ khi b = c = 0. Khi đó, ta có f'\left( 0 \right) = 0
