Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:
LG a
un=√5n3n+1
Lời giải chi tiết:
0<un=(√5)n3n+1<(√5)n3n=(√53)n với mọi n
Vì 0<√53<1 nên lim Do đó {{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0
LG b
{u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2} + \cos n} \over {2\root 3 \of n + 1}}
Lời giải chi tiết:
-1\le{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2}\le 1 và -1 \le\cos n \le 1 với mọi n nên |{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2}+ \cos x| \le 2 với mọi n.
Suy ra |{u_n}| = {|{{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2} + \cos n|} \over {2\root 3 \of n + 1}} \le \frac{ 2}{2 \sqrt[3]{n}+1}
Vì \lim {\frac{2}{2 \sqrt[3]{n}+1}=0} nên {{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0
LG c
{u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^{n + 1}}}} - {1 \over {{3^{n + 1}}}}
Lời giải chi tiết:
\left| {{u_n}} \right| \le {1 \over {{2^{n + 1}}}} + {1 \over {{3^{n + 1}}}} < {1 \over {{2^{n + 1}}}} + {1 \over {{2^{n + 1}}}} = {1 \over {{2^n}}} với mọi n
Vì \lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0, từ đó suy ra {{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0
LG d
{u_n} = {{n + \cos {{n\pi } \over 5}} \over {n\sqrt n + \sqrt n }}
Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn: 0 \le {u_n} \le {{n + 1} \over {\sqrt n \left( {n + 1} \right)}} = {1 \over {\sqrt n }} với mọi n
