Giải bài 1.39 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

149 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

LG a

$\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn. $\sin x\sin 7x = {1 \over 2}\left( {\cos 6x - \cos 8x} \right)$ và $\sin 3x\sin 5x = {1 \over 2}\left( {\cos 2x - \cos 8x} \right)$ .

Chú ý thu gọn hai họ nghiệm thành một.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 6x - \cos 8x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x\\ \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 6x = 2x + k2\pi \\ 6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{{k\pi }}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4} \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4}$ .

LG b

$\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn . $\sin 5x\cos 3x = {1 \over 2}(\sin 8x + \sin 2x)$ và $\sin 9x\cos 7x = {1 \over 2}\left( {\sin 16x + \sin 2x} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin 16x + \sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 16x + \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 16x = \sin 8x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 16x = 8x + k2\pi \\ 16x = \pi - 8x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{4}\\ x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{{12}} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4},x = {\pi \over {24}} + {{k\pi } \over {12}}$ .

LG c

$\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x$ $- \sin 4x\sin 6x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn.

$\cos x\cos 3x = {1 \over 2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right),$

$\sin 2x\sin 6x$ $= {1 \over 2}\left( {\cos 4x - \cos 8x} \right)$ và $\sin 4x\sin 6x = {1 \over 2}\left( {\cos 2x - \cos 10x} \right)$

Lời giải chi tiết:

$\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x$ $- \sin 4x\sin 6x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) - \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 8x} \right)\\ - \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 10x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 4x + \cos 2x - \cos 4x + \cos 8x\\ - \cos 2x + \cos 10x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 8x + \cos 10x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\cos 9x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos 9x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{9} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over {18}} + {{k\pi } \over 9}$

LG d

$\sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x$ $- \sin 2x\sin x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\eqalign{ & \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left( {\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin 5x(\sin 4x + \sin 2x) = 0 \cr}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left( {\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 5x(\sin 4x + \sin 2x) = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 5x.2\sin 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 5x = 0\\ \sin 3x = 0\\ \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = k\pi \\ 3x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{5}\\ x = \frac{{k\pi }}{3}\\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

SBT Toán lớp 11 Nâng cao