Đề bài
Cho số thực x≠k2π. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
1+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx2
Lời giải chi tiết
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
1+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1)x2cosnx2sinx2 (1) với mọi n∈N∗.
Với n=1, vì x≠k2π (theo giả thiết) nên
1+cosx=2cos2x2=sin(1+1)x2cos1.x2sinx2 (2)
Như vậy (1) đúng khi n=1
Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗. Khi đó , ta có
1+cosx+cos2x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(1+1)x2coskx2sinx2+cos(k+1)x=sin(k+1)x2coskx2+cos(k+1)x.sinx2sinx2=sin(k+1)x2coskx2−2sin2(k+1)x2.sinx2+sinx2sinx2=sin(k+1)x2(coskx2−2sin(k+1)x2.sinx2)+sinx2sinx2=sin(k+1)x2(coskx2+cos(k+2)x2−coskx2)+sinx2sinx2=12(sin(2k+3)x2−sinx2)+sinx2sinx2=sin(k+2)x2cos(k+1)x2sinx2
Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi n=k+1.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗.
