Đề bài
Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA⊥mp(ABC),AB=AC=a,BC=65aDA⊥mp(ABC),AB=AC=a,BC=65a. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông góc với MD (H thuộc đường thẳng MD).
a) Chứng minh rằng AH⊥mp(BCD)AH⊥mp(BCD).
b) Cho AD=45aAD=45a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng G1G2⊥mp(ABC)G1G2⊥mp(ABC).
Lời giải chi tiết
a) Vì M là trung điểm của BC nên AM⊥BCAM⊥BC, mặt khác DA⊥(ABC)DA⊥(ABC) nên BC vuông góc với mp(DAM), từ đó BC⊥AHBC⊥AH.
Mà DM⊥AHDM⊥AH.
Vậy AH⊥mp(DBC)AH⊥mp(DBC).
b) Kẻ MN song song với AC (N ∈ AB) thì góc giữa DM và AC bằng góc giữa DM và MN, đó là ^DMNˆDMN hoặc 1800−^DMN1800−ˆDMN.
Ta có:
MN=12AC=a2,AN=a2.DN2=DA2+AN2=1625a2+a24=89100a2AM2=AB2−BM2=a2−9a225=16a225⇒AM=4a5.
Mặt khác AD=4a5 do đó DM=4a√25.
DN2=DM2+MN2−2DM.MNcos^DMN89100a2=2.16a225+a24−2.4a√25.a2cos^DMN=153a2100−4a2√25cos^DMN⇒4a2√25cos^DMN=64a2100⇒cos^DMN=2√25..
Vậy góc giữa AC và DM là α mà cosα=2√25 .
c) Dễ thấy G1G2 // DA mà DA ⊥ (ABC) nên G1G2⊥(ABC).
