Đề bài
Cho đường thẳng a và vectơ →u có giá vuông góc với a. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đa. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đa và tịnh tiến T→u. Với điểm M bất kì, gọi M’ = F(M) và I là trung điểm của MM’.
a) Tìm quỹ tích của I khi M thay đổi.
b) Chứng minh rằng F là phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết
a) Nếu Đa biến điểm M thành N thì T→u biến điểm N thành điểm M’ tức là →NM′=→u. Vì vectơ →u có giá vuông góc với a nên ba điểm M, N và M’ cùng nằm trên đường thẳng m vuông góc với a. Gọi J là trung điểm của MN thì J nằm trên a và ta có :
→JI=→MI−→MJ=12(→MM′−→MN)=12→NM′=→u2.
Như vậy I là ảnh của J qua phép tịnh tiến theo vectơ →u2, suy ra quỹ tích I là đường thẳng a’ ảnh của a qua phép tịnh tiến đó.
b) Từ câu a), ta suy ra a’ là trung trực của đoạn thẳng MM’. Suy ra F là phép đối xứng trục với trục là đường thẳng a’.
