Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(MNP).
Lời giải chi tiết
a) Ta có C′B′⊥(ABB′A′),B′A⊥A′B nên A′B⊥AC′ (định lí ba đường vuông góc).
Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90°.
b) Ta có
NP2=NC2+CD2+DP2=a24+a2+a24=3a22
Tương tự ta cũng có MN2=MP2=3a22
Vậy MNP là tam giác đều.
Mặt khác:
AN2=AP2=AM2=5a24C′N2+C′P2=C′M2=5a24
Từ đó AC′⊥(MNP).
