Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
LG a
\(y = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin 2x + \cos 2x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 - 4\sqrt 3 + 3 + 1\\
= 8 - 4\sqrt 3 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow y = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left[ {\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\sin 2x + \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\cos 2x} \right]\\
= 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)
với \(\alpha \) thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\\
\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}
\end{array} \right.\)
Do đó \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \le y \le 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \)
Vậy giá trị lớn nhất là \(2\sqrt {2 - \sqrt 3 } ,\) giá trị nhỏ nhất là \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\)
LG b
\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x \)
\(\begin{array}{l}
= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}.2\sin x\cos x\\
= 1 - \sin 2x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x
\end{array}\)
\(= 1 + {1 \over 2}\sin 2x + 2\cos 2x.\)
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 2x + \frac{4}{{\sqrt {17} }}\cos 2x} \right)\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)
với \(\alpha\) thỏa mãn
\({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\
\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.}\)
Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\) nên \( - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
- \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le 1 + \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le y \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}
\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \(1 + {{\sqrt {17} } \over 2}\) và \(1 - {{\sqrt {17} } \over 2}\).
LG c
\(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)
\( = - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)
với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)
Mà
\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)
