Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
LG a
y=(2−√3)sin2x+cos2x
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(2−√3)2+12=4−4√3+3+1=8−4√3=4(2−√3)⇒y=2√2−√3[√2−√32sin2x+12√2−√3cos2x]=2√2−√3sin(2x+α)
với α thỏa mãn
{cosα=√2−√32sinα=12√2−√3
Do đó −2√2−√3≤y≤2√2−√3
Vậy giá trị lớn nhất là 2√2−√3, giá trị nhỏ nhất là −2√2−√3.
LG b
y=(sinx−cosx)2+2cos2x+3sinxcosx
Lời giải chi tiết:
Ta có:
y=(sinx−cosx)2+2cos2x+3sinxcosx
=sin2x−2sinxcosx+cos2x+2cos2x+32.2sinxcosx=1−sin2x+2cos2x+32sin2x
=1+12sin2x+2cos2x.
12sin2x+2cos2x=√172(1√17sin2x+4√17cos2x)=√172sin(2x+α)
với α thỏa mãn
{cosα=1√17sinα=4√17
Mà −1≤sin(2x+α)≤1 nên −√172≤√172sin(2x+α)≤√172
Do đó:
−√172≤12sin2x+2cos2x≤√172⇒1−√172≤1+12sin2x+2cos2x≤1+√172⇒1−√172≤y≤1+√172
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 1+√172 và 1−√172.
LG c
y=(sinx+2cosx)(2sinx+cosx)−1
Lời giải chi tiết:
Ta có
y=(sinx−2cosx)(2sinx+cosx)−1=2(sin2x−cos2x)−3sinxcosx−1=−1−32sin2x−2cos2x
=−1−(32sin2x+2cos2x)
Ta có:
32sin2x+2cos2x=52(35sin2x+45cos2x)=52sin(2x+α)
với α thỏa mãn {cosα=35sinα=45
Mà
−1≤sin(2x+α)≤1⇒−52≤52sin(2x+α)≤52⇒−52≤32sin2x+2cos2x≤52⇒−1+52≥−1−(32sin2x+2cos2x)≥−1−52⇒32≥y≥−72
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 32 và −72
