Giải các phương trình sau bằng cách dùng công thức biến đổi tổng thành tích:
LG a
\(\sin 3x - \cos 2x = 0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\sin 3x - \cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin 3x - \sin \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\sin 3x - \cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin 3x - \sin \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\sin \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
LG b
\(\sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 3x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\eqalign{
& \sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 3x \cr&\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 2\sin \left( {2x + {\pi \over {12}}} \right)\sin \left( {x - {\pi \over {12}}} \right) = 0 \cr} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 3x\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( { - \frac{\pi }{6} - x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{{12}} = k\pi \\
x - \frac{\pi }{{12}} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
LG c
\(\sin \left( {3x - {{5\pi } \over 6}} \right) + \cos \left( {3x + {\pi \over 4}} \right)=0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\eqalign{
& \sin \left( {3x - {{5\pi } \over 6}} \right) + \cos \left( {3x + {\pi \over 4}} \right) =0\cr&\Leftrightarrow \sin \left( {3x - {{5\pi } \over 6}} \right) + \sin \left( {{\pi \over 4} - 3x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin \left( {{{ - 7\pi } \over {12}}} \right)\cos \left( {3x - {{13\pi } \over {24}}} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \cos \left( {3x - {{13\pi } \over {24}}} \right) = 0 \cr} \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3x - \frac{{13\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{{25\pi }}{{24}} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{25\pi }}{{72}} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array}\)
LG d
\(\cos {x \over 2} = - \cos \left( {2x - {{30}^o}} \right)\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\eqalign{
& \cos {x \over 2} = - \cos \left( {2x - {{30}^o}} \right)\cr &\Leftrightarrow \cos {x \over 2} + \cos \left( {x - {{30}^o}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos \left( {{{5x} \over 4} - {{15}^o}} \right)\cos \left( {{{15}^o} - {{3x} \over 4}} \right) = 0 \cr} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \cos {x \over 2} = - \cos \left( {2x - {{30}^o}} \right)\cr &\Leftrightarrow \cos {x \over 2} + \cos \left( {x - {{30}^o}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos \left( {{{5x} \over 4} - {{15}^o}} \right)\cos \left( {{{15}^o} - {{3x} \over 4}} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{{5x}}{4} - {{15}^0}} \right) = 0\\
\cos \left( {{{15}^0} - \frac{{3x}}{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} - {15^0} = {90^0} + k{180^0}\\
{15^0} - \frac{{3x}}{4} = {90^0} + k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} = {105^0} + k{180^0}\\
\frac{{3x}}{4} = - {75^0} - k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {84^0} + k{144^0}\\
x = - {100^0} - k{240^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)
