Đề bài
Cho hai hàm số
f(x)=sin4x+cos4x và g(x)=14cos4x
Chứng minh rằng
f′(x)=g′(x)(∀x∈R)
Lời giải chi tiết
Cách 1. Với mọi x∈R, ta có
f′(x)=4sin3xcosx+4cos3x(−sinx)=4sinxcosx(sin2x−cos2x)=2sin2x(−cos2x)=−sin4x.
Mặt khác ta có
g′(x)=14(−4sin4x)=−sin4x.
Vậy với mọi x∈R, ta có
f′(x)=g′(x).
Cách 2. Ta chứng minh rằng f(x) và g(x) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có
sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−12sin22x=1−12.1−cos4x2=34+14cos4x
Tức là f(x)=34=g(x)(∀x∈R).
Vậy f′(x)=g′(x).
