Đề bài
Cho tứ diện ABCD có BC=BD=AC=AD;AB=a,CD=a√3. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.
a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
a)
ΔBCD=ΔACD(c.c.c)⇒BJ=AJ
Do đó ΔABJ cân tại J, suy ra IJ⊥AB
Chứng minh tương tự: IJ⊥CD
Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi IA2+OI2=OJ2+JD2, đặt IO=x ta có đẳng thức
a24+x2=(a−x)2+(a√32)2⇔x=34a
Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng
√a24+9a216=a√134.
