Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2. Gọi F là hợp thành của V1 và V2. Chứng minh rằng:
LG a
F là một phép tịnh tiến nếu k1k2 = 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V1 biến M thành M1 và V2 biến M1 thành M2 thì →O1M1=k1→O1M và →O2M2=k2→O2M1.
Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M2. Gọi I là ảnh của O1 qua phép vị tự V2, tức là →O2I=k2→O2O1.
Khi đó →IM2=k2→O1M1=k1k2→O1M.
(h.33)
Nếu k1k2 = 1 thì →IM2=→O1M nên →MM2=→O1I=→O1O2+→O2I=(1−k2)→O1O2.
Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ →u=(1−k2)→O1O2.
LG b
F là một phép vị tự nếu k1k2 1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu k1k2 ≠ 1 ta chọn điểm O3 sao cho →O3I=k1k2→O3O1
Khi đó →O3M2=→O3I+→IM2
=k1k2→O3O1+k1k2→O1M
=k1k2→O3M
Vậy F là phép vị tự tâm O3 tỉ số k1k2.
Chú ý rằng tâm O3 của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:
→O3I=k1k2→O3O1
Hay →O3O1+→O1O2+→O2I=k1k2→O3O1.
Suy ra: →O1O2+k2→O2O1=(1−k1k2)→O1O3.
Do đó: →O1O3=1−k21−k1k2→O1O2.
Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V1, V2 và F là ba điểm thẳng hàng O1, O2 và O3.
