Đề bài
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên a√6. Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.
a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Lời giải chi tiết
a) Gọi I=CD∩Δ,J=BC∩Δ,
B1=C′J∩BB′,D1=C′I∩DD′
thì thiết diện thu được AB1C′D1.
Dễ thấy AB1C′D1 là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.
Từ đó AD1=D1C′
Do đó thiết diện AB1C′D1 là hình thoi.
SAB1C′D1=12B1D1,AC′B1D1=BD=a√2AC′2=AC2+CC′2=2a2+6a2=8a2⇒AC′=2a√2
Vậy SAB1C′D1=12a√2.2a√2=2a2.
b) Ta có AC⊥BD mà ∆ // BD nên AC⊥Δ.
Mặt khác C′C⊥(ABCD) nên AC′⊥Δ (định lí ba đường vuông góc).
Vậy ^C′AC là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Ta có tan^C′AC=CC′AC=a√6a√2=√3, từ đó ^C′AC=600
Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức
SABCD=SAB1C′D1=2a2
mà SABCD=a2,SAB1C′D1=2a2
tức là cosφ=12hayφ=600.
