Đề bài
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \(6{u_2} + {u_5} = 1\) và \(3{u_3} + 2{u_4} = - 1.\) Hãy tìm số hạng đầu tổng quát của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có
\(\left\{ \matrix{
6{u_2} + {u_5} = 1 \hfill \cr
3{u_3} + 2{u_4} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.(6q + {q^4}) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,(1) \hfill \cr
{u_1}.(3{q^2} + 2{q^3}) = - 1\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Dễ thấy, \({u_1}.q \ne 0\). Do đó cộng theo vế (1) và (2) ta được
\({q^3} + 2{q^2} + 3q + 6 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {q + 2} \right)\left( {{q^2} + 3} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow q = - 2.\)
Từ đó suy ra
\({u_1} = {1 \over 4}\) và \(q = - 2.\)
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là :
\({u_n} = {1 \over 4} \times {( - 2)^{n - 1}}.\)
