Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho
→AM=13→AB,→BN=23→BC,
→AQ=12→AD,→DP=k→DC.
Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Cách 1
Từ →AM=13→AB ta có →BM=23→BA , mặt khác →BN=23→BC nên MN // AC.
Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.
Mặt khác →AQ=12→AD nên →DP=12→DC.
Vậy k=12 thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Cách 2:
Đặt →DA=→a,→DB=→b,→DC=→c .
Khi đó →BC=→c−→b,→AB=→b−→a.
Do →AM=13→AB
nên
→AM=13(→b−→a)=−13→a+13→b→AN=→AB+→BN=→b−→a+23(→c−→b)=−→a+13→b+23→c→AP=→AD+→DP=−→a+k→DC=−→a+k→c→AQ=−12→a
Khi đó
→MN=−23→a+23→c→MP=−23→a−13→b+k→c→MQ=−16→a−13→b
Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho
→MP=x→MN+y→MQ⇔−23→a−13→b+k→c=−23x→a+23x→c−16y→a−13y→b
Do →a,→b,→c không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:
{−23x−16y=−23−13y=−1323x=k⇒y=1,x=34,k=12
Vậy khi k=12 thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.
