Đề bài
Tìm các nghiệm thuộc khoảng(0;2π) của phương trình
√1+cosx+√1−cosxcosx=4sinx
Lời giải chi tiết
Điều kiện xác định của phương trình cosx≠0.
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:
√2(|cosx2|+|sinx2|)=2sin2x(1)
Do x=π không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:
1) x∈(0;π). Lúc này 0<x2<π2, kéo theo cosx2>0 và sinx2>0.
Do đó (1) trở thành
1√2(sinx2+cosx2)=sin2x
⇔sin(x2+π4)=sin2x
⇔[x=π6+4kπ3x=3π10+4lπ5
Để tìm nghiệm thuộc khoảng (0;π), ta cần tìm k và l nguyên sao cho
∙0<π6+k4π3<π ⇔−18<k<58⇔k=0. Ta nhận x=π6
∙0<3π10+l4π5<π ⇔−38<l<78⇔l=0. Ta nhận x=3π10
2) x∈(π;2π). Lúc này π2<x2<π, kéo theo cosx2<0 và sinx2>0. Do đó (1) trở thành
1√2(sinx2−cosx2)=sin2x
⇔sin(x2−π4)=sin2x
⇔[x=−π6+4kπ3x=π2+l4π5
Tương tự trên, ta có
∙π<−π6+k4π3<2π ⇔78<k<138⇔k=1.
Ta nhận được x=−π6+4π3=7π6
∙π<π2+l4π5<2π ⇔58<l<158⇔l=1.
Ta nhận được x=π2+4π5=13π10
Kết luận: Trong khoảng (0;2π), phương trình đã cho có 4 nghiệm là x=π6,x=3π10,x=7π6 và x=13π10
