Câu 5.42 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

LG a

\(f'\left( x \right) = 0\) biết \(f\left( x \right) = {{m{x^4}} \over 4} - \left( {m + 2} \right){{{x^3}} \over 3} + {{5{x^2}} \over 2} - 3x + 1\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{& f'\left( x \right) = m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x - 3 \cr& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x-3=0\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Thử thấy \(x = 1\) là một nghiệm, nên ta có thể viết (1) dưới dạng

\(\eqalign{& \left( {x - 1} \right)\left( {m{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2a} \right) \hfill \cr m{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2b} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta hãy giải phương trình (2b). Xét hai trường hợp

\( \bullet \) Với \(m = 0\) thì \(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\)

\( \bullet \) Với \(m \ne 0\) thì

\(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {{1 \pm \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) (Với điều kiện \(0 \ne m \le {1 \over 3}\) )

Kết luận

+ Với \(m > {1 \over 3}\), phương trình có nghiệm \({x_0} = 1\)

+ Với \(m = 0\), phương trình có nghiệm \({x_0} = 1\) và \({x_1} = {3 \over 2}\)

+ Với \(0 \ne m \le {1 \over 3}\), phương trình có các nghiệm là

\({x_0} = 1,{x_1} = {{1 - \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) và \({x_2} = {{1 + \sqrt {1 - 3m} } \over m}\)

LG b

\(f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\) biết \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 8} \)

Lời giải chi tiết:

Để hàm số đã cho cá đạo hàm thì ta phải có

\({x^2} - 2x - 8 > 0 \Leftrightarrow x < - 2\) hoặc \(x > 4.\)

Với điều kiện \(x < - 2\) hoặc \(x > 4,\) ta có

\(f'\left( x \right) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}\)

Phương trình

\(\eqalign{& f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr{{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}.\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = m \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{\matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr x - 1 = m \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m < - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m < - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr\left| m \right| > 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Kết luận

+ Với \(\left| m \right| \le 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với \(\left| m \right| > 3\) thì phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1 + m.\)