Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R
LG a
f(x)={x2−x+2khix≤21x−2khix>2
Lời giải chi tiết:
– Với x<2 thì f(x)=x2−x+2 là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là f′(x)=2x−1
– Với x>2 thì f(x)=1x−1 là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là
f′(x)=−1(x−1)2
– Với x=2 thì ta có
limx→2−f(x)=limx→2−(x2−x+2)=4
Và
limx→2+f(x)=limx→2+1x−1=1
Do đó limx→2−f(x)≠limx→2+f(x), suy ra không tồn tại limx→2f(x), tức là hàm số không liên tục tại điểm x=2, nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.
LG b
f(x)={x2+xkhix<12xkhix≥1
Lời giải chi tiết:
Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm x≠1 và
f′(x)={2x+1khix<1−2x2khix>1
Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm x=1. Vì
limx→1−f(x)=limx→1+f(x)=2=f(1)
Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm x=1
Mặt khác ta có
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−(x2+x)−2x−1=limx→1−(x+2)=3
Và limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+2x−2x−1=limx→1+(−2x)=−2
Do đó
limx→1−f(x)−f(1)x−1≠limx→1+f(x)−f(1)x−1
Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm x=1
LG c
f(x)={x2+1khix≤0−x3+1khix>0
Lời giải chi tiết:
Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm x≠0 và
f′(x)={2xkhix<0−3x2khix>0
Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm x=0
Ta có:
limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=1=f(1)
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
Mặt khác ta có:
limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−(x2+1)−1x−0=limx→0−x=0
Và
limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+(−x3+1)−1x−0=limx→0+(−x2)=0
Vì limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0+f(x)−f(0)x−0=0 nên suy ra
limx→0f(x)−f(0)x−0=0
Hay f′(0)=0
Vậy với mọi x∈R, hàm số đã cho có đạo hàm và
f′(x)={2xkhix<0−3x2khix>0
Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0 (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được f′(0)=0: “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm x=0 nên nó liên tục tại điểm đó”.
