Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R
LG a
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr{1 \over {x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
– Với \(x < 2\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f'\left( x \right) = 2x - 1\)
– Với \(x > 2\) thì \(f\left( x \right) = {1 \over {x - 1}}\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là
\(f'\left( x \right) =- {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
– Với \(x = 2\) thì ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\)
Và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {1 \over {x - 1}} = 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\), tức là hàm số không liên tục tại điểm \(x = 2\), nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.
LG b
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr{2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 1\) và
\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x + 1\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr- {2 \over {{x^2}}}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \cr} \right.\)
Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm \(x = 1\). Vì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2 = f\left( 1 \right)\)
Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\)
Mặt khác ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {{x^2} + x} \right) - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{2 \over x} - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {2 \over x}} \right) = - 2\)
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}}\)
Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm \(x = 1\)
LG c
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr- {x^3} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\) và
\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr- 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm \(x = 0\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(1)\)
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
Mặt khác ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left( {{x^2} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\)
Và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left( { - {x^3} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\) nên suy ra
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\)
Hay \(f'\left( 0 \right) = 0\)
Vậy với mọi \(x \in R\), hàm số đã cho có đạo hàm và
\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr - 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\) (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được \(f'\left( 0 \right) = 0\): “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm đó”.
