Giải bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

150 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

$\tan x = 1 - \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\cos x \ne 0$

$\begin{array}{l} \tan x = 1 - \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\ \Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin 2x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array}$

Vậy $x = k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi$ .

LG b

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\cos \left( {x - {{15}^o}} \right) \ne 0$ và $\sin \left( {x + {{15}^o}} \right) \ne 0$

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\ \Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left( {TM} \right) \end{array}$

Vậy $x = {45^o} + k{180^o}$ .

LG c

$\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\left( {{{2\cos }^2}x - 1} \right) = 1 + \sin x - 4\cos x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right) + \left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) + 4\cos x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) \cr&+ 2\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x + 2\cos x + 3} \right) = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\cos x - 1 = 0\\ \sin x + 2\cos x = - 3\left( {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array}$

Vậy $x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi$ .

LG d

$3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với $\cos x$ .

Lời giải chi tiết:

$3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ {\cos ^2}x = \frac{3}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {\pi \over 6} + k\pi$

LG e

$\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

$\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$

$\begin{array}{l} 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right) + \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = \pi + k2\pi ,$ $x = {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi$

LG f

$1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

$1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \cos 2x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = k\pi ,x = {\pi \over 2} + 2k\pi$

LG g

${\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x$ $= 1 + \tan x + \cot x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành

$\tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + \sin 2x = - 1$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x$ $= 1 + \tan x + \cot x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\ + \cot x.{\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\ \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = - {\pi \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi$

SBT Toán lớp 11 Nâng cao