Giải bài 1.63 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

152 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải phương trình sau:

LG a

$\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{6}\sin 2x + \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ 2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over {24}} + k\pi ;x = {{7\pi } \over {24}} + k\pi$

LG b

$2\sqrt {2} (\sin x + \cos x)\cos x = 3 + \cos 2x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến phương trình đã cho như sau:

$\eqalign{ & 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr}$

Lời giải chi tiết:

$2\sqrt {2} (\sin x + \cos x) \cos x= 3 + \cos 2x$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr}$

Xét $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ thì ${\cos ^2}x = 1$ , thay vào phương trình trên được:

$\left( {2\sqrt 2 - 4} \right).1 + 0 - 0 = 2\sqrt 2 - 4 \ne 0$ nên $x = k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của pt cho ${\sin ^2}x \ne 0$ ta được:

$\left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cot ^2}x + 2\sqrt 2 \cot x - 2 = 0$

Đặt $t = \cot x$ ta có phương trình:

$\left( {2\sqrt 2 - 4} \right){t^2} + 2\sqrt 2 t - 2 = 0$

Có $\Delta ' = 2 + 2\left( {2\sqrt 2 - 4} \right) = 4\sqrt 2 - 6 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

LG c

${\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} {\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin x + \sqrt 3 \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x + \frac{\pi }{3} = k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = k\pi ,x = - {\pi \over 3} + k\pi$

LG d

$4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x$ $-2\sin^2 x= {5 \over 2}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\eqalign{ & 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr & \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr}$

Lời giải chi tiết:

$4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x$ $-2\sin^2 x= {5 \over 2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr & \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr}$

Dễ thấy $\sin x = 0$ không thỏa mãn phương trình nên chia cả hai vế cho ${\sin ^2}x \ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}3{\cot ^2}x + 8\sqrt 3 \cot x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cot x = - 3\sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3\sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 3} + k\pi ,x = arccot (- 3\sqrt 3 ) + k\pi$ .

SBT Toán lớp 11 Nâng cao