Đề bài
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho →IB=k→IC,→JA=k→JC,→KA=k→KD trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:
a) MN ⊥ IJ và MN ⊥IK
b) AB ⊥ CD
Lời giải chi tiết
a) Từ
→IB=k→IC→JA=k→JC
ta có IJ // AB.
Tương tự, ta có IK // CD.
Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB.
Mặt khác MA = MB do đó MN ⊥ AB, suy ra MN ⊥ IJ.
Tương tự như trên, ta có MN ⊥ CD và IK // CD nên MN ⊥ JK.
b) Ta có →AB=→AN+→NB.
Từ giả thiết, ta có:
AN⊥CD tức là →AN.→CD=0;
BN⊥CD tức là →BN.→CD=0.
Vậy →AB.→CD=(→AN+→NB).→CD=0 tức là AB⊥CD .
