Giải các phương trình sau:
LG a
\(2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1\)
Lời giải chi tiết:
Với điều kiện \(\sin x \ne 0,\) ta có:
\(\eqalign{
& 2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1 \cr& \Leftrightarrow 2\sin x + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\sin x\cos x + 1\cr&\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \cos x = 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x \cr
& \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}x - \sin x} \right) - \left( {4{{\sin }^2}x\cos x - \cos x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x - 1} \right) - \cos x\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0\\
\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0
\end{array} \right.\)
+) \(2\sin x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\)
+) \(\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\)
Đặt \(t = \sin x - \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) ta có:
\({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \) \(\Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\)
Thay vào phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l}
t - \left( {1 - {t^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\left( {TM} \right)\\
t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi\),\(x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2 } + k2\pi, \)\(x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \)
LG b
\({\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(x = {\pi \over 4} + k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi \over 4} \pm \alpha + 2m\pi ,\) với \(\cos \alpha = {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }}\)
Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta có:
\(\eqalign{
& {\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left[ {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]=0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) + \sin x\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + \sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)
Đối với phương trình \(\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0,\) đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)
Chú ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình \(1 - \sin x = 0\) đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos x \ne 0\) nên bị loại.
LG c
\(1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2},x = - {\pi \over 4} + l\pi \)
Hướng dẫn: Với điều kiện \(\sin 2x \ne 0,\) ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x = 1 - \cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow {\cos ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x - \sin 2x - 1} \right) = 0 \cr} \)
Chú ý, loại các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện \(\sin 2x \ne 0\)
LG d
\(6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
Vô nghiệm
Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos 2x \ne 0,\) ta có
\(\eqalign{
& 6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\cr& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 5sin2x\cos x \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x{\cos ^2}x \cr&\Leftrightarrow 3\sin x - {\cos ^3}x - 5\sin x{\cos ^2}x = 0 \cr} \)
Với \(\cos x \ne 0,\) chia hai vế cho \({\cos ^3}x\) ta được một phương trình đối cới \(\tan x,\) tuy nhiên các nghiệm của phương trình này đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos 2x \ne 0\).
