Giải các phương trình sau:
LG a
2sinx+cotx=2sin2x+1
Lời giải chi tiết:
Với điều kiện sinx≠0, ta có:
2sinx+cotx=2sin2x+1⇔2sinx+cosxsinx=4sinxcosx+1⇔2sin2x+cosx=4sin2xcosx+sinx⇔(2sin2x−sinx)−(4sin2xcosx−cosx)=0⇔sinx(2sinx−1)−cosx(2sinx−1)(2sinx+1)=0⇔(2sinx−1)(sinx−cosx−2sinxcosx)=0
⇔[2sinx−1=0sinx−cosx−2sinxcosx=0
+) 2sinx−1=0
⇔sinx=12
⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π
+) sinx−cosx−2sinxcosx=0
Đặt t=sinx−cosx với |t|≤√2 ta có:
t2=1−2sinxcosx ⇒2sinxcosx=1−t2
Thay vào phương trình trên ta được:
t−(1−t2)=0⇔t2+t−1=0⇔[t=−1+√52(TM)t=−1−√52(loai)⇒sinx−cosx=−1+√52⇒√2sin(x−π4)=−1+√52⇔sin(x−π4)=−1+√52√2⇔[x−π4=arcsin−1+√52√2+k2πx−π4=π−arcsin−1+√52√2+k2π⇔[x=π4+arcsin−1+√52√2+k2πx=5π4−arcsin−1+√52√2+k2π
Vậy phương trình có nghiệm x=π6+k2π,x=5π6+k2π,x=π4+arcsin−1+√52√2+k2π,x=5π4−arcsin−1+√52√2+k2π
LG b
tan2x(1−sin3x)+cos3x−1=0
Lời giải chi tiết:
x=π4+kπ,x=2kπ,x=π4±α+2mπ, với cosα=√2−1√2
Hướng dẫn: Với điều kiện cosx≠0, ta có:
tan2x(1−sin3x)+cos3x−1=0⇔sin2x(1−sin3x)−cos2x(1−cos3x)=0⇔(1−cos2x)(1−sin3x)−(1−sin2x)(1−cos3x)=0⇔(1−cosx)(1−sinx)[(1+cosx)(1+sinx+sin2x)−(1+sinx)(1+cosx+cos2x)]=0⇔(1−cosx)(1−sinx)(sinx+cosx)(sinx−cosx)+sinxcosx(sinx−cosx)=0⇔(1−cosx)(1−sinx)(sinx−cosx)(sinx+cosx+sinxcosx)=0
Đối với phương trình sinx+cosx+sinxcosx=0, đặt t=sinx+cosx với |t|≤√2
Chú ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình 1−sinx=0 đều không thỏa mãn điều kiện cosx≠0 nên bị loại.
LG c
1+cot2x=1−cos2xsin22x
Lời giải chi tiết:
x=π4+kπ2,x=−π4+lπ
Hướng dẫn: Với điều kiện sin2x≠0, ta có:
1+cot2x=1−cos2xsin22x⇔sin22x+sin2xcos2x=1−cos2x⇔1−sin22x−cos2x−sin2xcos2x=0⇔cos22x−cos2x−sin2xcos2x=0⇔cos2x(cos2x−sin2x−1)=0
Chú ý, loại các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện sin2x≠0
LG d
6sinx−2cos3x=5sin4xcosx2cos2x
Lời giải chi tiết:
Vô nghiệm
Hướng dẫn: Với điều kiện cos2x≠0, ta có
6sinx−2cos3x=5sin4xcosx2cos2x⇔6sinx−2cos3x=5sin2xcosx⇔6sinx−2cos3x=10sinxcos2x⇔3sinx−cos3x−5sinxcos2x=0
Với cosx≠0, chia hai vế cho cos3x ta được một phương trình đối cới tanx, tuy nhiên các nghiệm của phương trình này đều không thỏa mãn điều kiện cos2x≠0.
