Giải bài 1.64 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

148 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

$\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right)$ $- \sqrt 2 \cos 5x = 0$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\sin 3x \ne 0$ .

$\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right)$ $- \sqrt 2 \cos 5x = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right) - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 5x\left( {1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right) = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 5x = 0\\ \sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\ x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\ x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},x = {\pi \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},$ $x = {\pi \over 4} + {{2k\pi } \over 3}$ .

LG b

${\tan ^2}x + \cos 4x = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có ${\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}$ và $\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.$

Điều kiện $\cos 2x \ne - 1,$ phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

${\tan ^2}x + \cos 4x = 0$

$\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left( {1 - 2{{\cos }^2}2x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 0\\ {\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 0\\ \cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {VN} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

LG c

$9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8 \cr & \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8=0 \cr & \Leftrightarrow 9\left( {\sin x - 1} \right) - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + 2\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {7 - 6\cos x - 2\sin x} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x - 1 = 0\\ 2\sin x + 6\cos x = 7 \end{array} \right.$

Phương trình $2\sin x + 6\cos x = 7$ vô nghiệm do ${2^2} + {6^2} < {7^2}$ .

Do đó $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ .

LG d

${\sin ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {\sin ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\cr& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 - \cos \left( {2x + {\pi \over 2}} \right)} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = {\sin ^2}2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2}$ .

LG e

$\left( {2\sin x + 1} \right)\left( {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3 \cr & \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 4{\sin ^2}x - 8\sin x \cr&+ 3\cos 4x + 2\sin x - 4 + 4{\cos ^2}x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 3\cos 4x - 6\sin x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {6\sin x\cos 4x - 6\sin x} \right) + \left( {3\cos 4x - 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 6\sin x\left( {\cos 4x - 1} \right) + 3\left( {\cos 4x - 1} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow 3 \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {\cos 4x - 1} \right) = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \frac{1}{2}\\ \cos 4x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\ x = \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2},x = - {\pi \over 6} + 2k\pi ,$ $x = {{7\pi } \over 6} + 2k\pi$ .

LG f

$\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x$

Lời giải chi tiết:

Do $\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin x + \cos x$ nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

$\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x$

$\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x$

Dễ thấy $\cos x=0$ không thỏa mãn phương trình trên.

Với điều kiện $\cos x \ne 0,$ ta chia hai vế của phương trình cho ${\cos ^3}x\ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l} {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right)^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan x + 1} \right)^3} = 4\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left( {\tan x - 1} \right) + \left( {\tan x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \tan x - 1 = 0\,\,\left( {do\,3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 4} + k\pi$ .

SBT Toán lớp 11 Nâng cao