Đề bài
Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.
Lời giải chi tiết
Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc.
Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi A1=F(A),A2=F(A1).
Nếu A trùng A1 thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác A1.
Khi đó A2 khác A1 và đường thẳng A1A2 vuông góc với đường thẳng AA1.
Đường thẳng của AA2 là đường thẳng d qua A1, vuông góc với AA2.
Đường thẳng A1A2 là đường thẳng d’ qua A2, vuông góc với A1A2.
Vậy F biến A2 thành giao điểm A3 của d và d’.
Vì F là phép dời hình nên AA1A2A3 là hình vuông.
Trung điểm I của AA2 biến thành trung điểm của A1A3, tức là I biến thành chính nó qua F.
Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó.
