Đề bài
Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (π4;5π4) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:
cosx+sinx+1sinx+1cosx=103
Lời giải chi tiết
Ta có:
cosx+sinx+1sinx+1cosx=103
⇔cosx+sinx+sinx+cosxsinxcosx=103
Đặt t=cosx+sinx với |t|≤√2. Khi đó sinxcosx=t2−12 và phương trình trở thành
t+2tt2−1=103(1)
Với điều kiện t≠±1, ta có:
(1)⇔3t2−10t2+3t+10=0
⇔(t−2)(3t2−4t−5)=0
Phương trình này có ba nghiệm t1=2,t2=2+√193 và t3=2−√193.
Tuy nhiên, chỉ có t3=2−√193 là thỏa mãn điều kiện |t|≤√2. Do đó phương trình đa cho tương đương với cosx+sinx=2−√193 hay
cos(x−π4)=2−√193√2(2)
Điều kiện π4<x<5π4 tương đương với điều kiện 0<x−π4<π. Với điều kiện đó ta có
(2)⇔x−π4=arccos2−√193√2
⇔x=π4+arccos2−√193√2
Lấy các giá trị gần đúng π4≈0,785 và arccos2−√193√2≈2,160 ta được x≈2,95.
