Giải các phương trình sau:
LG a
\({\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ( với \(\cos x \ne 0\) ), ta được phương trình \({\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\).
Lời giải chi tiết:
Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:
\(1 - 0 - 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan 3 + k\pi \).
LG b
\(6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Viết lại vế phải của phương trình là \(2 = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\end{array}\)
Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:
\(4 + 0 - 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}4{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \).
LG c
\(\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn.
Cách 1 : sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) và \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) để đưa về phương trình \(2{\cos ^2}x - 2\sin x\cos x = 0\) hay \(\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\)
Cách 2 : Dùng công thức \(2{\sin ^2}x = 1 - \cos 2x\) để đi đến phương trình
\(\sin 2x + \cos 2x - 1 = 2\cos 2x\)
hay \(\sin 2x - \cos 2x = 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 1 + \cos 2x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).
LG d
\(2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn . Viết lại vế phải của phương trình là \(2 = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\) , rồi đưa phương trình về dạng \({\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\)
hay \(\cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x + 3\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cot 2x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
LG e
\(4\sin x\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) + 4\sin\left( {\pi + x} \right)\cos x \)\(+ 2\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn:
\(\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = \sin x,\)\(\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x,\) \(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) = - \cos x\) và \(\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\), ta được phương trình sau tương đương với phương trình đã cho :
\(4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x \)\(= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)
hay \(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = \sin x\)
\(\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x\)
\(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) = - \cos x\)
\(\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}4\sin x\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 4\sin \left( {\pi + x} \right)\cos x\\ + 2\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin x.\sin x + 4\left( { - \sin x} \right)\cos x\\ + 2\left( { - \cos x} \right).\left( { - \cos x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x\\ + 2{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\end{array}\)
Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:
\(3 - 0 + 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \).
