Giải bài 1.36 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

151 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

${\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Chia hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ( với $\cos x \ne 0$ ), ta được phương trình ${\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Nếu $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ , thay vào phương trình được:

$1 - 0 - 0 = 0$ (vô lí) nên $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \arctan 3 + k\pi$ .

LG b

$6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Viết lại vế phải của phương trình là $2 = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\end{array}$

Nếu $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ , thay vào phương trình được:

$4 + 0 - 0 = 0$ (vô lí) nên $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}4{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi$ .

LG c

$\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn.

Cách 1 : sử dụng công thức $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ và $\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$ để đưa về phương trình $2{\cos ^2}x - 2\sin x\cos x = 0$ hay $\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0$

Cách 2 : Dùng công thức $2{\sin ^2}x = 1 - \cos 2x$ để đi đến phương trình

$\sin 2x + \cos 2x - 1 = 2\cos 2x$

hay $\sin 2x - \cos 2x = 1$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 1 + \cos 2x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ .

LG d

$2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn . Viết lại vế phải của phương trình là $2 = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)$ , rồi đưa phương trình về dạng ${\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0$

hay $\cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x + 3\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cot 2x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},$ $x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}$ .

LG e

$4\sin x\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) + 4\sin\left( {\pi + x} \right)\cos x$ $+ 2\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

$\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = \sin x,$ $\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x,$ $\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) = - \cos x$ và $\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x$ , ta được phương trình sau tương đương với phương trình đã cho :

$4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x$ $= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$

hay $3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = \sin x$

$\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x$

$\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) = - \cos x$

$\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x$

Khi đó:

$\begin{array}{l}4\sin x\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 4\sin \left( {\pi + x} \right)\cos x\\ + 2\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin x.\sin x + 4\left( { - \sin x} \right)\cos x\\ + 2\left( { - \cos x} \right).\left( { - \cos x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x\\ + 2{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\end{array}$

Nếu $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ , thay vào phương trình được:

$3 - 0 + 0 = 0$ (vô lí) nên $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi$ .

SBT Toán lớp 11 Nâng cao