Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AS = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AS, đặt AM=x(0≤x≤2a).
a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(MBC) ứng với mỗi vị trí của M.
Lời giải chi tiết
a) Vì BC//SAD,M∈mp(SAD)∩mp(MBC)
nên mp(MBC)∩(SAD)=MN
mà MN//BC(N∈SD).
Như vậy BMNC là hình thang.
Mặt khác BC⊥(SAB) nên BC⊥BM.
Vậy BMNC là hình thang vuông.
Do đó thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) nói chung là hình thang vuông.
Khi x = 0 thì thiết diện là hình chữ nhật ABCD, và khi x = 2a thì thiết diện là tam giác SBC.
Ta có
SBMNC=12(BC+MN).BMBM2=a2+x2
hay BM=√a2+x2
MNAD=SMSA=2a−x2a, từ đó MN=b.2a−x2a.
Từ đó
SBMNC=12(b+b.2a−x2a).√a2+x2=b4a(4a−x)√a2+x2
b) Do (BMNC)⊥(SAB) nên khi kẻ SH vuông góc với đường thẳng BM(H∈BM) thì SH⊥(BMNC).
Khoảng cách từ S đến mp(BCM) là SH. Dễ thấy
SH.BM=2SSBM=2.12a(2a−x)
Vậy SH=a(2a−x)√a2+x2
