Đề bài
Cho hai đường thẳng phân biệt a, a’ và phép dời hình F biến a thành a’. Một điểm M thay đổi trên a và M’ = F(M). Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng MM’ hoặc trùng nhau, hoặc nằm trên một đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Lấy hai điểm A, B phân biệt nằm trên a và gọi A’ = F(A), B’ = F(B). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’.
Trường hợp hai điểm I và J trùng nhau
Khi đó, phép đối xứng qua I biến điểm M ∈ a thành M1 ∈ a’ sao cho
\({M_1}A' = MA,\,{M_1}B' = MB.\)
Suy ra \(M_1\) trùng M’ = F(M). Vậy trung điểm MM’ cũng là điểm I.
Trường hợp hai điểm I, J phân biệt
Ta gọi F’ là phép đối xứng trượt biến A thành A’ và biến B thành B’.
Trục của phép đối xứng trượt chính là đường thẳng d đi qua I và J.
Khi đó, với mọi điểm M ∈ a ta có M’ = F’(M). Vậy trung điểm các đoạn thẳng MM’ cũng nằm trên d.
