Đề bài
Giải phương trình:
\(12\cos x + 5\sin x \)\(+ {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)
Lời giải chi tiết
Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\), ta có phương trình \(y + {5 \over y} - 6 = 0\).
\( \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\)
Do đó
\(\left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\), gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha = {5 \over {13}}\), ta có :
(1) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \alpha + \pi + k2\pi \)
(2) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - {9 \over {13}}\)
\(\Leftrightarrow x = \alpha \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \)
