Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD//BC,AD>BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng:
MN//(SBC);(MEN)//(SBC).
b) Trong tam giác SAD vẽ EF//AD (F∈SD). Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?
c) Chứng minh rằng SC//(MNE). Đường thẳng AF có song song với mp(SBC) hay không?
d) Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN//AD và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF//AD. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào?
Lời giải chi tiết
a) MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra:
MN//BCBC⊂(SBC)}⇒MN//(SBC)MN//(SBC)ME//(SBC)}⇒(MEN)//(SBC)
b) Ta có
EF//AD⇒EF//MN⇒EF⊂(MNE)⇒F∈(MNE).
Mặt khác F∈SD, do đó F=(MNE)∩SD.
Thiết diện là hình thang MNFE.
c) Theo câu a), ta có (SBC)//(MNE) mặt khác SC⊂(SBC)
Suy ra SC // (MNE).
Đường thẳng AF không song song với mp(SBC) vì nếu AF // (SBC) thì :
AF⊂(MNE)⇒A∈(MNE) (vô lí).
d) Xét ba mặt phẳng (SAB), (SCD) và (MNE). Ta có:
(SAB)∩(SCD)=SJ (J là giao điểm của AB và CD)
(SAB)∩(MNE)=ME(SCD)∩(MNE)=NF
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SJ, ME, NF đồng quy. Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ (trừ những điểm trong của đoạn SJ).
