Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm A1,B1,C1 lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho AA1AA′=B′B1BB′=C′C1CC′=34. Trên các đoạn thẳng CA1 và A’B1 lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C1. Tính tỉ số IJB′C1 .
Lời giải chi tiết
Đặt →AA′=→a,→AB=→b,→AC=→c. Theo giả thiết ta có:
→AA1=34→a,→B′B1=−34→a,→C′C1=−34→a.
Ta có:
→CA1=→CA+→AA1=34→a−→c;→A′B1=→A′B′+→B′B1=−34→a+→b;→B′C1=→B′A′+→A′C′+→C′C1=−34→a−→b+→c
Vì I thuộc CA1 nên →CI=t→CA1=34t→a−t→c.
Do J thuộc A’B1 nên →A′J=m→A′B1=−34m→a+m→b .
Mặt khác
→IJ=→IC+→CA′+→A′J=−34t→a+t→c+→a−→c−34m→a+m→b=(1−34t−34m)→a+m→b+(t−1)→c
Ta có:
IJ//B′C1⇔→IJ=k→B′C1⇔{1−34t−34m=−34km=−kt−1=k
Suy ra
1−34(k+1)+34k=−34k⇔14+34k=0⇔k=−13⇒t=23,m=13.
Vậy điểm I thuộc A1C được xác định bởi →CI=23→CA1 và J thuộc A’B1 được xác định →A′J=13→A′B1.
Khi đó, ta có IJB′C1=13.
