Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
LG a
Nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M trog không gian ta luôn có MA2+MC2=MB2+MD2 .
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD
MA2+MC2=2MO2+AC22MB2+MD2=2MO2+BD22
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. Vậy MA2+MC2=MB2+MD2.
Cách 2.
MA2+MC2=(→MO+→OA)2+(→MO+→OC)2=2→MO2+2→MO.(→OA+→OC)+→OA2+→OC2=2(MO2+OA2)(doOA=OC,→OA+→OC=→0)
Tương tự như tên ta có MB2+MD2=2(MO2+OB2).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB. Vậy MA2+MC2=MB2+MD2.
LG b
Nếu ABCD là hình bình hành thì MA2+MC2−MB2−MD2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M trong không gian. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC cà BD, khi đó:
MA2+MC2−MB2−MD2=(→MI+→IA)2+(→MI+→IC)2−(→MJ+→JB)2−(→MJ+→JD)2=2MI2+IA2+IC2−2MJ2−IB2−JD2=2(MI2−MJ2)+12(AC2−BD2)
● Nếu ABCD là hình bình hành thì I ≡ J
Khi đó
MA2+MC2−MB2−MD2=12(AC2−BD2)
tức là MA2+MC2−MB2−MD2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
● Ngược lạ, nếu MA2+MC2−MB2−MD2 không phụ thuộc vào bị trí của điểm M thì MI2−MJ2 cũng là hằng số. Khi đó chọn M lần lượt là điểm I và điểm J thì II2−IJ2=JI2−JJ2 , suy ra −IJ2=IJ2, tức là IJ = 0 hay I ≡ J
Vậy ABCD là hình bình hành.
Chú ý cũng có thể sử dụng các công thức:
MA2+MC2=2MI2+AC22MB2+MD2=2MJ2+BD22
và từ đó ta có
MA2+MC2−MB2−MD2=2(MI2−MJ2)+12(AC2−BD2)
rồi lí luận như trên để đi đến kết quả.
