Đề bài
a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
DH2=DA2−AH2=a2−(a√33)2=6a29⇒DH=a√63
Do I là trung điểm của DH nên
IH=a√66
Khi đó: IM2=IH2+HM2=(a√66)2+(a√36)2=a24,
tức là IM=a2.
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến IM=12BC. Vậy IB⊥IC.
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra 1IH2=1IA2+1IB2+1IC2=3IA2 hay IH=IA√3.
Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:
DH=2IA√3 và DA = DB = DC.
Đặt IA = x thì DH=2x√3,AB=x√2.
Khi đó
DA2=DH2+HA2=4x23+(x√2.√33)2=4x23+2x23=2x2.
Vậy DA=DB=DC=x√2.
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.
