Đề bài
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị hàm số
y=12√x−4x2(C)
Cắt trục tung tại một điểm cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ.
Lời giải chi tiết
Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có
x−4x2>0⇔0<x<14.
Với điều kiện 0<x<14, ta có
y′=1−8x4√x−4x2.
Gọi M0(x0;y0) là một điểm tuy ý thuộc đồ thị(C) ; ta có y0=12√x0−4x20, y′=1−8x04√x0−4x20. Vậy phương trình tiếp tuyến tại M0(x0,y0) là
y=1−8x04√x0−4x20(x−x0)+12√x0−4x20
Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm T có tung độ là
yT=1−8x04√x0−4x20(0−x0)+12√x0−4x20=(1−8x0)(−x0)+2(x0−4x20)√x0−4x20=x04√x0−4x20>0
Khoảng cách TM0 được tính bởi công thức
TM0=(x0−0)2+(12√x0−4x20−x0√x0−4x20)2=x20(2(x0−4x20)−x0√x0−4x20)2=x20+(x0−8x20)216(x0−4x20)=16x30−64x40+x20−16x30+64x4016(x0−4x20)=x2016(x0−4x20)
Vậy
|TM0|=x04√x0−4x20=|TO|=yT
Điều này chứng tỏ, điểm T cách đều tiếp điểm M0 và gốc tọa độ O.
Chú ý: Có thể chứng minh bào toán này bằng phương pháp hình học như sau:
Với 0≤x14 thì y≥0 ta có
y=12√x−4x2⇔4y2+4x2−x=0⇔x2+x4+y2=0⇔(x−18)2+y2=(18)2
Vậy đồ thị (C) là phần đường tròn thuộc góc phần tư thứ nhất (vì x≥0 và y≥0) tâm I(18;0), bán kính R=18 (h.5.6)
Áp dụng tính chất: từ một điểm T ngoài đường tròn, kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là TM0 và TO và ta có |TM0|=|TO| (đpcm).
