Đề bài
Ba số x,y,z, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.
Lời giải chi tiết
Vì dãy số x,y,z là một cấp số nhận nên y2=x.z
Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng nhận các số x,y,z lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9, ta có y−x=2d và x−y=(z−x)−(y−x)=8d−2d=6d. Từ đó, suy ra z−y=3.(y−x), hay z+3x=4y. Như vậy, từ các giả thiết của bài ra ta được
{y2=x.z(1)z+3x=4y(2)z+y+z=13(3)
Từ (2) và (3), ta có x=5y−132 và z=39−7y2. Thế x và z vào (1), ta được
4y2=(5y−13)(39−7y) hay 3y2−22y+39=0
Từ y=3 hoặc y=133
- Với y=3 ta có x=5.3−132=1 và z=39−7.32=9
- Với y=133 ta có x=5×133−132=133 và z=39−7×1332=133
Ngược lại, dễ thấy các số x=1,y=3,z=9, cũng như các số x=133,y=133,z=133, đều thỏa mãn các điều kiện của đề bài.
