Đề bài
Cho hypebol (H) với hai tiêu điểm F1 và F2. Gọi M là một điểm nằm trên (H) nhưng không nằm trên đường thẳng F1F2 và m là phân giác trong tại đỉnh M của tam giác MF1F2.
Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).
Lời giải chi tiết
Giả sử hypebol (H) có trục thức là 2a, nghĩa là điểm M nằm trên (H) khi và chỉ khi:
|MF1−MF2|=2a
Ta xét trường hợp MF1−MF2=2a (trường hợp MF2−MF1=2a chứng minh tương tự).
Gọi F’ là điểm đối xứng với F2 qua phân giác m thì F’ nằm giữa M và F1.
Khi đó, nếu lấy M’ nằm trên m thì:
M′F1−M′F2=M′F1−M′F′≤F1F′=MF1−MF′=MF1−MF2=2a
Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (H).
Từ đó suy ra m cắt (H) tại điểm duy nhất M.
