Đề bài
Cho hypebol (H) với hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Gọi M là một điểm nằm trên (H) nhưng không nằm trên đường thẳng \({F_1}{F_2}\) và m là phân giác trong tại đỉnh M của tam giác \(M{F_1}{F_2}\).
Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).
Lời giải chi tiết
Giả sử hypebol (H) có trục thức là 2a, nghĩa là điểm M nằm trên (H) khi và chỉ khi:
\(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\)
Ta xét trường hợp \(M{F_1} - M{F_2} = 2a\) (trường hợp \(M{F_2} - M{F_1} = 2a\) chứng minh tương tự).
Gọi F’ là điểm đối xứng với \(F_2\) qua phân giác m thì F’ nằm giữa M và \(F_1\).
Khi đó, nếu lấy M’ nằm trên m thì:
\(\eqalign{
M'{F_1} - M'{F_2} &= M'{F_1} - M'F' \cr&\le {F_1}F' = M{F_1} - MF' \cr
& = M{F_1} - M{F_2} \cr
&= 2a \cr} \)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (H).
Từ đó suy ra m cắt (H) tại điểm duy nhất M.
