Đề bài
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên n≥2 và mọi số thực x thỏa mãn |x|<1
(1−x)n+(1+x)n<2n
Lời giải chi tiết
Khi n=2, bất đẳng thức đúng vì
(1−x)2+(1+x)2=2(1−x2)<2(dox2<1)
Giả sử n≥2,ta có:
(1−x)n+(1+x)n<2n,(|x|<1) (1)
Ta cần chứng minh
(1−x)n+1+(1+x)n+1<2n+1,(|x|<1) (2)
Thật vậy, do |x|<1 nên 0<1−x<2 và 0<1+x<2; Từ đó ta có
(1−x)n+1+(1+x)n+1=(1−x)n(1−x)+(1+x)n(1+x)<2[(1−x)n+(1+x)]<2.2n=2n+1
