Đề bài
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.
a) Đặt ^xOy=α,^yOz=β,^zOx=γ . Chứng minh rằng:
cosα+cosβ+cosγ>−32
b) Gọi Ox1,Oy1,Oz1 lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.
Lời giải chi tiết
Lấy E1,E2,E3 lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho OE1=OE2=OE3.
Đặt →OE1=→e1,→OE2=→e2,→OE3=→e3.
a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên(→e1+→e2+→e3)2>0,
tức là
→e21+→e22+→e23+2(→e1.→e2+→e2.→e3+→e3.→e1)>0⇔3OE21+2OE21(cosα+cosβ+cosγ)>0
Vậy cosα+cosβ+cosγ>−32
Dễ thấy
→OE1+→OE2//Ox1→OE2+→OE3//Oy1→OE3+→OE1//Oz1Ox1⊥Oy1⇔(→OE1+→OE2)(→OE2+→OE3)=0
hay →OE22+→OE1.→OE2+→OE1.→OE3+→OE2.→OE3=0
Ta có:
(→OE1+→OE2)(→OE3+→OE1)=→OE12+→OE1.→OE2+→OE2.→OE3+→OE1.→OE3
=0
Vậy Ox1⊥Oz1
Tương tự, ta cũng có Oy1⊥Oz1
