Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h, trong đó h2>a2+c2. Một mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với CA’
a) Xác định thiết diện cùa hình lăng trụ khi cắt bởi mp(P).
b) Tính diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết
a) (P) cắt (ACC’A’) theo giao tuyến đi qua A và vuông góc với A’C.
Do AA′=h>AC=√a2+c2 nên giao tuyến đó cắt CC’ tại C1, C1 thuộc cạnh CC’. Mặt khác (P) cắt (ABC) theo giao tuyến vuông góc với A’C, tức là giao tuyến đó vuông góc với AC, giao tuyến này cắt BC tại I. Khi đó IC1 cắt BB’ tại B1. Thiết diện là tam giác AB1C1.
b) Tính diện tích thiết diện
Dễ thấy φ=^CAC1 là góc giữa (P) và (ABC), ngoài ra ^C1AC=^AA′C
cosφ=h√a2+c2+h2
Ta có
SABC=SAB1C1cosφ⇒SAB1C1=SABCcosφ=ac2h√a2+c2+h2.
Chú ý: Có thể tính SAB1C1 bằng cách tính AC1 và đường cao B1H của tam giác đó. Dễ thấy B1H song song với BK, trong đó BK⊥AC vì B1H và BK cùng vuông góc với (ACC’A’)
Ngoài ra B1H=BK=ac√a2+c2
∆AA’C đồng dạng ∆ACC1
⇒AC1=A′C.ACAA′=√a2+c2+h2.√a2+c2h.
Từ đó tính được diện tích tam giác AB1C1
