Giải bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

163 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

LG a

$\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: $\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\ \Leftrightarrow \sin 4x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 4x = 0\\ 2\cos x - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = k\pi \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{4}\\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi$

LG b

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\ 2\cos x + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi \\ \cos x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,x = k{\pi \over 2}$

LG c

$\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta biến đổi phương trình đã cho như sau (để ý: $\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x$ ):

$\eqalign{ & \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + 2\cos \left( {x + 4x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\left( {\cos 4x\cos x - \sin 4x\sin x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 4x\cos x - 8{\sin ^2}x\cos x\cos 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos 4x - 4{{\sin }^2}x\cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 2\left( {1 - \cos 2x} \right)\cos 2x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos x\left( {4{{\cos }^2}2x - \cos 2x - 1} \right) = 0 \cr}$

+) $\cos x = 0$ $\Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi$

+) $4{\cos ^2}x - \cos 2x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \cos 2x = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}$

Do $\left| {{{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}} \right| < 1$ nên có các số $\alpha$ và $\beta$ sao cho $\cos \alpha = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}$ và $\cos \beta = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}$ . Từ đó:

$\cos 2x = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}$ $\Leftrightarrow 2x = \pm \alpha + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi$

$\cos 2x = {{1 + \sqrt {17} } \over 8} \Leftrightarrow 2x = \pm \beta + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm {\beta \over 2} + k\pi$

Kết luận: Phương trình đã cho các nghiệm $x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi$ và $x = \pm {\beta \over 2} + k\pi ,$ với $\cos \alpha = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}$ và $\cos \beta = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}$ .

LG d

$\cos 22x + 3\cos 18x$ $+ 3\cos 14x + \cos 10x = 0$

Lời giải chi tiết:

Vế trái phương trình được biến đổi thành:

$\eqalign{ & \left( {\cos 22x + \cos 10x} \right) + 3\left( {\cos 18x + \cos 14x} \right)\cr& = 2\cos 16x\cos 6x + 6\cos 16x\cos 2x \cr & = 2\cos 16x\left( {\cos 6x + \cos 2x + 2\cos 2x} \right)\cr& = 2\cos 16x\left( {2\cos 4x\cos 2x + 2\cos 2x} \right) \cr & = 4\cos 16x\cos 2x\left( {\cos 4x + 1} \right) \cr&= 8\cos 16x{\cos ^3}2x \cr}$

Vậy phương trình đã cho tương đương với

$\cos 16x{\cos ^3}2x = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 16x = 0 \hfill \cr \cos 2x = 0 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over {32}} + k{\pi \over {16}} \hfill \cr x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.$

SBT Toán lớp 11 Nâng cao