Giải các phương trình sau:
LG a
\(4\sin x - 3\cos x = 5\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
4\sin x - 3\cos x = 5\\
\Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin x - \frac{3}{5}\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = 1\\
\Leftrightarrow x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array}\)
với \(\cos \alpha = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha = {3 \over 5}\)
LG b
\(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\)
Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình
\({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)
Chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x - \alpha = \pm \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha \pm \beta + k2\pi
\end{array}\)
(trong đó \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)).
LG c
\(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\\
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \alpha = \frac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\
2x + \alpha = \pi - \frac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} - \alpha + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
với \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi \over 4} - \alpha + k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi \).
LG d
\(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\\
\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{3}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
14x = 2x + \alpha + k2\pi \\
14x = \pi - 2x - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\alpha }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\\
x = \frac{{\pi - \alpha }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)
trong đó \(\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)
