Tính giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần trăm) nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
LG a
\(\sin \left( {2x + {\pi \over 6}} \right) = {2 \over 5}\) trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 3};{\pi \over 6}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(y = 2x + {\pi \over 6}\) thì:
\( - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6} \)\(\Leftrightarrow - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\)
Ta có phương trình (với ẩn y) \(\sin y = {2 \over 5}\) (1)
Với \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2},\) phương trình (1) có một nghiệm suy nhất là \(y = \arcsin {2 \over 5}.\)
Vậy với \( - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6},\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(2x + {\pi \over 6} = \arcsin {2 \over 5}\)
Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là \(x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi \over 6}} \right)\)
Lấy giá trị gần đúng \(\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412\) và \({\pi \over 6} \approx 0,524,\) ta được \(x \approx - 0,06.\)
(Chú ý: Muốn tính gần đúng kết quả cuối cùng chính xác đến hàng phần trăm thì trong kết quả trung gian phải tính chính xác đến hàng phần nghìn).
LG b
\(\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}\) trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(y = {x \over 2}\) thì:
\(2\pi < x < 4\pi \Leftrightarrow \pi < y < 2\pi \)
Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)
Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).
Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)
Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)
Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:
Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta < \pi \) và \(\cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3}\).
(Cụ thể \(\beta = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).
Khi đó, dễ thấy \(2\pi - \beta \) thỏa mãn \(\pi < 2\pi - \beta < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi - \beta } \right) = \cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha = 2\pi - \beta .\)
Vì \(\beta \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha \approx 10,41.\)
LG c
\(\tan {{3x - \pi } \over 5} = - 3\) với \( - {\pi \over 2} < x < {{7\pi } \over 6}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(y = {{3x - \pi } \over 5}.\)
Khi đó \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\) và phương trình đã cho có dạng \(\tan y = - 3.\)
Với điều kiện \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\), phương trình này có một nghiệm duy nhất \(y = \arctan \left( { - 3} \right).\)
Vì vậy \({{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\)
Nên \(x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\) cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện \( - {\pi \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}\)
Lấy giá trị gần đúng \(\arctan \left( { - 3} \right) \approx - 1,249\) , ta được \(x \approx - 1,03\)
