Đề bài
Biết rằng các số đo rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0.\) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Xét phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\) (1)
Điều kiện: \(x\in\left( {0;\pi } \right)\)
Đặt \(t = \tan {x \over 2}\) ta được:
\({{2t} \over {1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} - t - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\)
Phương trình có nghiệm \(t = {1 \over {\sqrt 3 }}\)
Do đó: \(\tan {x \over 2} = {1 \over {\sqrt 3 }}\)
Phương trình (1) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có một nghiệm duy nhất \(x = {\pi \over 3}\)
Do đó ABC là tam giác đều.
