Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ →v≠→0 . Gọi F là phép hợp thành của V và T.
LG a
Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.
Lời giải chi tiết:
Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”.
Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó →OI′=k→OI và →I′I=→v.
Từ đó, suy ra →OI−→OI′=→v⇔→OI−k→OI=→v⇔→OI=→v1−k
Vậy điểm I hoàn toàn xác định.
LG b
Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k
Lời giải chi tiết:
Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì →OM′=k→OM , nếu T biến M’ thành M” thì M′M″ . Từ đó, suy ra \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM}
\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} = k\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM} \cr} (*)
Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v .
Ngoài ra, vì \overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v nên \overrightarrow {IM''} - \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow v hay \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow {IM''} - \overrightarrow v .
Vậy đẳng thức (*) trở thành \overrightarrow {IM''} = k\overrightarrow {IM} .
Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.
